19th CPHOS联考试题分析

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        第19届CPHOS物理竞赛联考已于3月11日结束，共回收试卷902份，有9个省份参赛人数超过40人。经过阅卷、查分环节，我们最终于3月19日公布了最终成绩。本次联考的数据分析已和本文章同步发布。以下是对本次联考的试题评析和答题情况分析。

理论第一题

试题评析

        出此题的主要动机是出题人刚刚学完了电动力学，对此部分题目比较熟悉。但是可以发现题目中的大部分内仍然属于普物，即便题目背景很有电动力学的风格，是因为出题人还是尽量避免超纲，将这些知识尽量用普物的方法解决。

        本体主要考察考生对最基础的二维无限长的源的电场和磁场的掌握程度，也考察了考生的一定的阅读新概念并应用的能力，本题主要也是围绕着同轴电缆的特性阻抗这个概念展开的讨论。最后一小问也是希望激发考生一定的物理生活应用思维，不仅仅局限在做题的范畴。

        本题难度适中，对于水平较高的同学来说应该很容易就秒掉了吧。（这是考前的预测qwq）

作答情况点评

        总体来说，第一题的答题情况和我的预期有一定的差距。已经受过更多的竞赛训练的同学本题的发挥比较稳定，基本都能拿到20左右的分数，即将（1）（2）和（3.1）能够基本做对，这也是我对同学们最基本的期望。当然这里（3.2）问损耗功率的计算是本题的唯一难点，确实导致了不少同学的失误，不过略低于预期。 

        （1）问我是特意限定在了一个二维平面中去考虑问题，就是希望同学们能够运用自己的普物知识而非电动力学来解决，这里其实就是很简单的无限长均匀带电体和无限长均匀直导线的电磁场，只不过要求一下之间的系数比。本题常见错误是写下三维空间的\overrightarrow{E}=-\nabla V， 但是真实情况应该是\overrightarrow{E}=-\nabla V-\frac{\partial\overrightarrow{A}}{\partial t}。所以为了避免引入这种复杂的东西，答案只在二维中求解。本问只求大家不要想太多，简简单单的做完，送分。 

        （2）问顺势做下来也是送分。 

        （3.1）问出现了很多共性的问题，首先是这一小问要求要算3个结果，有的人只算了一个P；其次在写出了（11）式后在写出（12）式的时候保留了一些V_0，不知道为啥V_0^2要拆开一个用E_{max}表示了一个却不；最后建议能算数值的时候最后的特性阻抗给出数值。 

        （3.2）稍微解释一下（16）式，这里的R_s说的是单位长度等效的直流电阻，你显然不能理解成R_s=\frac{dR}{dz}，因为这样的话R_s就不是导体的性质而是这个波导的性质了，而且内外还一样更奇怪了。我们可以做微元分析，如下图所示：

        I=\int\overrightarrow{j}\cdot\,d\overrightarrow{S}=H_\varphi dl. 单位功率，考虑到在dl方向是电阻并联dP_l=\frac{1}{2}\frac{R_s}{dl}I^2， 那么总损耗功率P_l=\oint\frac{1}{2}\frac{R_s}{dl}I^2=\frac{1}{2}R_s\oint H_\varphi^2\,dl. 当然也可以总体分析，也考虑在2\pi r长度上的电阻并联，损耗功率P_l=\frac{1}{2}\frac{R_s}{2\pi r}I^2=\frac{1}{2}\frac{R_s}{2\pi r}\left(\oint H_\varphi dl\right)^2. 
 
        最后一问，要是算了前两个特征阻值的数值就很容易看出来50\Omega在二者之间，结合前两问各自的条件很容易写出了。当然有很多同学根本就没做出来前两问就能结合题干写出最后一问的答案，很值得表扬。

理论第二题

试题评析

        本试题灵感来源于出题人做的一道高数习题，为了给这道题一个物理情景，出题人结合热点事件，出了第（1）问和（2.1）问，并把高数习题放在了第（2.2）问。前面两问可以说是为了平衡试卷难度而故意出简单的，需要选手能一眼看出其难易度并秒杀掉，如果前两问没做对说明基本功不扎实。第（2.2）问就需要一点灵感和运气，需要选手当机立断，有灵感就秒杀，没有灵感就不要死磕。总的来说，本题考察选手的基本功和考试技巧，总体难度小，想拿满有困难。

作答情况点评

        本题整体较简单，作答情况相对较好。

        本题（1）问较基础，纯几何问题，正确理解题意不难做出，得分率较高；（2.1）问仍是基本的振动问题，需注意分类讨论，最终答案可能有多种等价形式，尽管造成阅卷时较多的误判，但所幸大多予以纠正，本问考察振动的基本功，基础不扎实的同学本问失分较多，基础扎实的同学基本可以拿满分；（2.2）问需要考生灵活应变，以及带有运气成分的些许灵感，跳出传统力学运动学思维，而从数学上考虑问题，本问得分率较低，但类似本问的问题在真正考试中基本不会出现，因此感到有困难也不必担心，本问只是拓展一下大家的思路而已。

理论第三题

试题评析

        正如题目开头所言，本题的灵感来源于出题人一次又一次地被洗衣机将卫衣的绳索甩出而折磨（PS：其实只要洗之前绳头打个结就不会甩出来了），因此希望用一个稍微简单一些的模型来模拟绳索被甩出来的过程。连续体的问题是力学模型中的经典，从离散到连续再到微观上的离散，似乎隐隐与物理学几百年的发展过程暗合。由于离心势中连续体的形状分布出题人在查阅了部分文献后，并没有找到解析解[1]。故而采用了简化的模型，使得连续体的形状固定，此时的“连续”仅仅体现在拉力等参数上。

        本题的第（1）问在直观上很好解释，摩擦力的存在使得绳索被拉动存在一个阈值。外部绳索足够长则保证了支持力不会反向。其所得到的微分方程是相当经典的一次线性非齐次微分方程，在此考察选手的基本数学功底。

        第（2）问的想法同样直观，如果得到了绳索被拉动的阈值，那么绳索被完全抽出的阈值呢？这不可避免地需要研究绳索的动力学，由于拉出过程过于冗杂，不适合在考场上研究，第（2）问是对上述问题的简化，绳索完全抽出的过程过于复杂，在此仅仅着眼于拉动绳索过程中运动。虽然第（2）问的总体思路继承自第（1）问，但是计算量相当大，需要选手相当强的信心和耐心。

[1] 感兴趣的同学可以参考文献：蔡中、沈祖培、赵鸿宾，离心力场中等应力悬链线的线型计算，清华大学学报，Vol.30, No.6 1990；周炳荣、陈光勇，气流纺纱转子腔内纱的曲线形状及张力，华东纺织工学院学报，1981 第二期.

作答情况点评

        从答卷情况来看，第一问的完成并不理想，只有极少部分考生给出了正确的连续体平衡方程。另有少部分考生对于绳索足够长理解为了l_{10}\gg R，笔者对此感到十分惋惜，应当在题目描述里再清晰地指出计算精确度的量级。但总体而言，暴露出了大部分考生对于连续体问题的不熟悉。
 
        对于第二问，笔者首先需要对考生和教练们致以歉意，因为在笔者最初的分析中存在两个误区，分别是漏掉了科氏力和绳索弯曲处的运动。对题目更好的描述是将绳子整体置于\Omega型的轨道内，这样在计算拐弯处的轨道支持力时可以放心地确定支持力的方向。修订版答案中的“k”值，更类似于物理实验中的唯象模型中的参数：类似于水流流过横截面突变的区域时，引入的动能损失系数“k”等，其值的确定其实源自大量实验的反推。
 
        从反馈数据来看，第二问的完成也并不理想，大部分的考生没有找到正确的分析方向——寻找支持力和摩擦力的分布。希望同学们能加强关于连续体方向的练习。
 
        最后感谢反馈问题的教练们和帮忙计算矫正的CPHOS的同学们，希望考生们能以我为戒，分析问题时尽量全面仔细，不要漏掉重要的细节（大哭.jpg）。

理论第四题

试题评析

        出此题的主要动机是笔者选修了一门微电子相关的通识课，该课程主要介绍了集成电路工艺的一些基础知识，如半导体，光电器件，芯片，门电路等。笔者认为这些可作为很好的物理竞赛题目资料。比如本题，是以集成电路中非常重要的原件MOS为背景材料，推导其工作相关的原理，实际上，原意是想在本题之后利用PMOS和NMOS不同的特性引进门电路相关内容，如与非门，再利用门电路设计集成电路版图，达到一个学习原理并应用的效果，碍于篇幅只好割舍，感兴趣的同学可以自行查询资料。

        本题实际上难度不大，运用的知识基本只涉及电容和电流，主要考察对材料的理解和对新模型的整体构建能力。考场上不被它的外表欺骗，静下心跟着题目每一问提示走就可以迎刃而解了。

作答情况点评

        本题总体而言作答情况不尽人意，一方面说明本题是存在一定难度，另一方面也反映同学们在考场上处理新模型（可能绝大多数同学并未见过此模型）的能力有待提升。实际上，这种题只要能够充分理解题目所给的模型基本就迎刃而解了，即便不能够理解模型的含义，也要从该题涉及的基本物理量，物理学公式出发，紧跟着题目的每一句话的要求，也即它怎么说你怎么写，这样也可以拿到不少分数。尤为重要的是尽量不要跳步，或者在没有完全理解模型，比如只做了第一问就认为第二问和第一问用到的模型一样或差不多，从而直接套用第一问的结论，这样是极有可能错误的。

        回归至题目本身，虽然不少同学选择直接跳过，但是做了的同学（1.1）问基本是可以做对。（1.1）问是需要求工作时的外加电压与氧化层、耗尽层之间的关系，而题目直接给出这个关系的即“基于平带状态下施加的额外正电压分成氧化层上的压降V_{ox}和半导体耗尽区压降\varphi_s两部分”，秉持着跟着题目意思走这个原则，讲这句话写成数学表达V_g-V_{fb}=V_{ox}+\varphi_s，则问题转化为分别计算氧化层和耗尽层的压降，求氧化层压降要注意电荷密度的正负号和压降的正向，不过没有注意的话最后两个负号仍然会消掉。（1.2）问注意审题，要给出两种衬底的阈值电压的表达式，（6）式实际就是（5）式的变形，有极少数同学计算时出现了错误，关键是N型衬底这里需要知道它的载流子和P型相反，所以这里我们在平带状态下的加压直接去相反数。

        （2.1）问，首先明白此时题目研究的状态“V_g达到阈值电压后继续增加，此时半导体表面电子浓度将超过半导体体内空穴浓度”源区电压为V_s为新加的条件，简记栅极电压为V_{gs}，我们可以写出MOS电容结构的反型层电荷密度，注意到是达到阈值电压之后才发生反型的，故自然得到Q_{inv}=-C_{ox}(V_{gs}-V_{th})，又题目告知“当V_b\neq V_s时，反型层电荷面密度Q_{inv}表达式将相比MOS电容结构多了耗尽区单位面积电容C_{dep}在电压V_{sb}作用下的电荷积累，且V_{sb}为正时对反型层电荷贡献为正”可知完整的表达式，将其与原来表达式对比得到等效阈值电压表达式，非常抱歉的是本问最后一句字母提示没有写上V_{sb}，但其实原稿上是一个字母提示没有的，当然笔者认为在前面的铺垫下同学们应该知道本题的关键就是V_b\neq V_s，要求的就是这种情况下阈值电压该怎么等效，可想必然答案离不开V_{sb}。（2.2）问开始则进入完整版，考虑源漏端存在压差，即考虑有偏置情况下且考虑偏压对沟道长度的调制作用，看起来很唬人，但还是简单地跟着题目意思去列表达式，无非就是说沟道上的电压与x有关，不再恒等于源电压，那么只需将（2.1）问中的V_s用V_c(x)替换掉即可，如果了解这个模型可知这里的m是体电荷效应的体现，一般仅考虑理想效应时m=1。（2.3）问实际上就是一个积分推导，要注意的是留心会发生饱和，所以是分段函数。并且（2.3）问即便前几问都没有做对，仍然可以拿到（13）（14）（15）式的6分。所以总的来说，这种“新”题属于只要跟着题目走，找到题目中可以转换成数学等式的文字，基于物理学最基础的公式一步步地往下写便可拿到大部分的分数。考场上不可能每个模型都是熟悉的，所以这种能力的训练还是有必要的，可以对照着国际赛和亚洲赛的题目熟悉这种套路。另外，对本题模型感兴趣的同学可以翻阅赵毅强的半导体物理。

理论第五题

试题评析

        在我大一上学期的信概课上，一个老师负责讲集成电路部分，他建议我们在写每一期的信概报告时，就自己感兴趣的问题查找相关文献自主学习。我注意到近年光刻机相关技术受到广泛关注，于是自己了解了一下光刻的原理，并将光刻技术中一种较为古老的对准方式出作题目。

        本题第（1）问考要求计算相位型光栅的光强分布，考察同学们采用复振幅法计算光强的基本功，思路较为直接；第（2）问与（1）关联不大，题干较长，主要考察同学们读题和理解情境的能力，并试图引导同学们认识该项对准技术的原理。

        从另一个眼光看，本题所述模型也可以看作阿贝成像原理的应用。左边透镜对相位光栅进行傅里叶变换并在频谱面上呈现出一系列衍射斑，选取±1级衍射斑相当于只保留相应的低频的信息，这样再经右边透镜的逆变换就在掩膜板上形成原相位光栅的低频像。利用这个像就可以进行对准。实际上，题中由于只用了±1级衍射光，对准精度较低。在目前使用的同类对准方法中，往往利用多级衍射光以提高精度。

        在出题人自己理解这一模型的过程中，也遇到一些疑问。比如（2.1）中“将光斑视作新的子波源”，与波在传播过程中的独立性似乎相悖。同时掩膜板上干涉条纹的分布宽度是否就是相位光栅几何光学像的宽度也有待考证。这点留作同学们以及我自己日后详细探究。

作答情况点评

        本题主要考察了波动光学的基础计算以及情境理解。为了尽可能给够引导，题干的篇幅较长，在阅读上需要消耗较多时间，但只要明白了情境，本题的计算量实际并不大，具有较高的性价比。
       
        第一小问考察了光栅的夫琅禾费衍射的光强分布的计算。命题者本意是想让同学们对光栅衍射的底层计算有更细致的把握，并且倾向于让大家采用复振幅积分的方式进行计算。但在阅卷中，可以发现实际上很少有考生是采用了这种严格的步步计算的方式来得出结果的，而大多是根据对光栅衍射的已有经验套用了“单缝因子”“多缝因子”“光栅方程”等结论。如果考生能够理解这些因子背后的数学原理，当然值得肯定；但倘若对相关内容没有自己的思考与见解，则很难体味到一些设问的用意。比如（1.2）中判断\pm n级主极大光强是否相等（此问题未设分值），绝大多数考生都回答不相等，但如果知道光栅主极大的位置条件是使多缝干涉项的分母取零，写出相应条件并代入光强分布，就能发现二者其实相等。我们还是鼓励大家适时从底层视角研究一下一些波动光学结论的得出过程，而不仅仅满足于掌握这些结论本身，否则在一些新的场景下就会缺少变通。
       
        另外就答题细节来看，同学们对相位正负的认知似乎不是很统一。当然本人首先自我检讨一下，我在题干陈述和答案拟定时也犯了相关错误：首先是题目中相位规定本应正比于\omega t-kr的，题干给出的规定与参考答案所采用的规定恰好背道而驰；另外就是调制项的2\alpha-\varphi起初写成了2\alpha+\varphi，毕竟所走光程越多，对应的相位延迟越多。大家所常见的错误可能与我类似，也会有少数同学将“相位延迟”与题干中的相位规定结合起来理解，从而将“延迟”变成了“超前”，这么看似乎就不是很合理了。在这些问题上，我们都需要加以关注。 
       
        第二小问则是实际运用的模型，题目尽量给足引导说明，但这无疑也增加了阅读量。（2.1）与（2.2）较为简单，只要读清了题目要求，可以较为轻松地得出一些结果。（2.3）实际也只是一个简单的积分乘上有效透光缝数，当然这需要明白题目中一些假设的用意所在。另外经有同学反馈，由于相位光栅原点规定的问题，（2.1）的结果还应加上一个\pi。实际上题目原点的规定是我在参考相关文献时根据自己的理解所添加的（原文献并未指出这一规定），不料出现疏漏，在此谨表歉意，不过这也反映了命题人也是在和同学们共同成长的，而成长路上所犯下的种种错误，终将成为人生中的珍贵指南，照君一路前行。

理论第六题

试题评析

        1、动机：对于热学熵和相变往往是大家非常忽视的两个部分，但是鉴于39届决赛的不做人所以第6题针对这两个概念进行了考察。

        2、考察要点：本题主要是由最基本的热力学定律和熵的基本定义起手，一步步推导出熵的表达式，然后对后面一些问题进行进一步讨论。其考察要点主要是学生是否能掌握简单的偏导（偏微分）应用，以及是否能对热力学中的各个物理量的关系有十分敏锐的感知（个人认为这是热力学解题中最为重要的一环）。

        3、命题人胡扯：其实在这个题目实际上来源于我学热学过程中的一些讨论和分析（以及看到北京大雪想到了相变后产生了这个问题）。感觉自己在竞赛阶段对热学的理解非常浅薄，乃至对一些更加基本的概念以及很多热力学关系有相当大的误区，所以希望通过这个题让大家通过最基本的热力学第一定律（或者讲能量守恒）对热学有一个更深刻的认识。而且本题实际是存在一个悖论（paradox）的，我就浅浅把它作为一个彩蛋了欢迎考完这套卷子的家人们battle[2]。

[2] 即全同粒子混合熵变的Gibbs佯谬。

作答情况点评

        本题实际考察了一些热力学中更加本质更加数学化的议题，根据试卷分布可以看出（1）问中的内容实际是大部分同学可以根据引导完成。本题的第（1.3）问是基于前两问的延申，其讨论了非理想气体下的问题，根据统计数据同学们对这个问题的作答非常一般，个人认为造成这件事的原因是大家在学习热力学的过程比较忽略了微分形式的表达式的理解和分析。基于39届决赛的考察，笔者认为在未来这样的题目实际是可能经常出现的，对热力学各物理量的更加深层的认识是有必要的，尤其是如何处理偏微分是竞赛阶段非常缺失的部分[3]。另外，本问中有同学和老师提出了我们求的“单粒子”物理量是否存在意义，这里解释一下：这样的说法仅仅是数学上的平均概念，也就是把热力学量除以总粒子数 ，而并不是真的单个粒子。
       
        本题的第（2）问考察的是相变问题，同学们整体作答良好，部分同学没有完成在体积约束下的最终表达式，不过总体而言可以看出同学们对相变的处理掌握的还不错。
        

[3] 有需求的同学也可以参考《物理学大题典》相关章节的问题。

理论第七题

试题评析

        本题灵感来源于笔者与同学的一次闲聊：在地心说的框架中，当时的人们是如何来描述各种各样复杂天体的运动的？我们都知道托勒密使用了很多很多本轮、均轮和轮上轮来叠加出精确的轨道，但似乎鲜有介绍这方面具体计算的材料。本题试图作为一个简单的模型来初步领略这种方式的复杂程度。事实上，本题的（1）（2）两问采用的是更原始的阿波罗尼乌斯“本轮-均轮模型”，在这个模型中均轮是绕着中心O匀速旋转的。更复杂的模型，也就是托勒密和哥白尼之后采用的，是题干中介绍的偏心匀速圆模型：在此模型中，本轮的中心绕着一个偏离中心微小距离的点作匀速旋转。即使作了相当多的简化，我们从第（2）问就可以看出，只有对于微小离心率的轨道，才可以只用2个“轮子”来描述系统的运动。为了得到更加精确的结果，“在中世纪和文艺复兴时使用6到12个小本轮不少见”[4] 。对于一般的情况，我们事实上是试图用离散求和来逼近真实轨道：z(t)\approx\sum_{k}r_ke^{i(\omega_kt+\varphi_k)}.对于周期性的轨道来说，这可以一般化为Fourier级数。感兴趣的同学可以进一步查找资料深入研究。 
       
        本题的（3）（4）两个小问来自于笔者的一次作业：当且仅当力场满足线性或平方反比律时，才能给出椭圆轨道；但线性力场和平方反比力场之间是否存在关联？出乎意料的是，这个结论可以通过并不太复杂的数学推导给出，这两个小问就是试图引导大家发现这二者的关联，也被称为Kasner-Arnold定理。在具体计算时，尤其是变换后轨道的表达式需要非常小心，因为涉及到复合函数的导数运算。倘若不用清晰的符号加以区分，就很可能导致符号滥用而造成漏掉系数的情况。 
       
        最后，应该指出，本题后两小问讨论的内容比较分析化，可能与实际应用的关联并不紧密，笔者命制本题的本意在于让大家也可以在准备考试之余尝试去感受一些有意思的东西。
        
[4] 库恩. 哥白尼革命[M]. 北京大学出版社, 2003.

作答情况点评

        本题的（1）（2）问相对而言比较基础。第（1）问中大部分考生都知道线性回复力在直角坐标下分解计算比较方便，也可以很好地理解本轮和均轮的概念，少部分考生在极坐标系下计算确实会导致结果更复杂一些。第（2）问z(\theta)的形式乍一看有些陌生，但其实就是熟知的椭圆轨道方程用极坐标写出的样子[5] ，大部分考生可以正确写出p和\varepsilon的形式。出乎笔者意料的是，到了（2.2）问，很多考生忘记考虑到\theta(t)并不再是随时间线性变化的\Omega t了，只把r(\theta)做小量展开到一阶；当题目需要计算准至一阶小量\varepsilon的z(t)时，\theta(t)只保留到零阶显然是不合理的，我们应该根据角动量守恒来算出它的一阶修正。这导致很多考生的答案虽然是大部分正确（甚至是完全正确的），但是这里最关键的一步修正却压根没有考虑，考生可自行比对自己和参考答案的z(t)，看看自己究竟是真算对的答案，还是凑对的答案。原则上，过程错误凑对的答案不应该给分，不过这次在仲裁时还是决定过程错误不给分、但把答案分给到大家。总体来说，（1）（2）两问的得分情况还算良好，主要失分在（2.2）问，以及部分弄混本轮均轮、化简太不彻底造成判卷困难等情况。
       
        第（3）（4）小问相对而言难度更大。第（3）小问需要考生一定程度的洞察力，在计算z^2后意识到这是一个偏心的椭圆轨道，正好对应前面算过的c=-2的平方反比有心力。需要注意的是，这里平方后的轨道z^2(t)中，t仅仅只是一个参数，不再具有时间的意义（一个轨道既可以用\theta当参数，也可以用t当参数，还可以用任何一个合理的映射当参数），因此拿平方后的轨道试图计算\ddot{z}是不可行的。但即使考生没有观察出来第（3）问的对应关系，直接计算第（4）小问并将第（3）小问作为特例当然也是可以的。令笔者欣慰的是，有少部分同学（大约10名）成功计算出了第（4）问的正确结论。有部分考生虽然有了可以进行的思路，但是在作答过程中不知不觉把自己绕晕进去了——径向坐标变成m次方，角向坐标却要变成\frac{\theta}{m}处的对应值，如果不用清晰的符号来区分变换前和变换后的z(\theta)或者u(\theta)，极有可能把自己绕晕。这也反映出考生在分析运算基本功方面仍有提升空间[6]。 
        
        第（4）问其实除了标答做法之外，也可以直接利用能量守恒和角动量守恒（也就是一次积分的结果）进行计算。如果对哈密顿力学有所涉猎的同学，也可以尝试从正则变换的角度进行推导： 
        
        A系统的哈密顿量 H^A(r,\theta,p_r,p_\theta)=\frac{1}{2M}\left(p_r^2+\frac{p_\theta^2}{r^2}\right)+k_1^\prime r^{A+1}
        
        如果作变换R=\frac{r^m}{l^{m-1}}，\Theta=m\theta，（l是任意一个长度量纲的参量），变换为正则变换的条件是 \{R,P_R\}=\{r,p_r\}=1，\{\Theta,P_\Theta\}=\{\theta,p_\theta\}=1
        
        其中 \{f,g\}:=\sum_{i=1}\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i}-\frac{\partial g}{\partial q_i}\frac{\partial f}{\partial p_i}是泊松括号。这样事实上要求\frac{dR}{dr}\frac{dP_R}{dp_r}=1\rightarrow P_R=\frac{l^{m-1}}{mr^{m-1}}p_r，\frac{d\Theta}{d\theta}\frac{dP_\Theta}{dp_\theta}=1\rightarrow P_\Theta=\frac{1}{m}p_\theta
        
        因此变换后的哈密顿量K^A(R,\Theta,P_R,P_\Theta)=\frac{1}{2M}\left(\frac{m^2R^{\frac{2(m-1)}{m}}}{l^{\frac{2(m-1)}{m}}}P_R^2+\frac{m^2P_\Theta^2}{l^{\frac{2(m-1)}{m}}R^\frac{2}{m}}\right)+k_1^\prime R^{\frac{A+1}{m}}l^{\frac{m-1}{m}(A+1)}
       
        它是守恒量，记作E，则有 \frac{1}{2M}\left(P_R^2+\frac{P_\Theta^2}{R^2}\right)-\frac{El^\frac{2(m-1)}{m}}{m^2R^\frac{2(m-1)}{m}}=-\frac{k_1^\prime}{m^2}R^\frac{A+1-2(m-1)}{m}l^{\frac{m-1}{m}(A+3)}
       
        要想让它和B系统的哈密顿量（守恒，记作E^\prime）取同样的形式 H^B(r,\theta,p_r,p_\theta)=\frac{1}{2M}\left(p_r^2+\frac{p_\theta^2}{r^2}\right)+k_2^\prime r^{B+1}=E^\prime
       
        我们只需要让各项对应： \frac{A+1-2(m-1)}{m}=0，-\frac{2(m-1)}{m}=B+1
       
        最后导出 m=\frac{A+3}{2}，B=-\frac{3A+5}{A+3} 也可以得到正确结果。笔者看到部分同学使用的就是这个方法（当然，在正式考试中最好慎用超纲方法）。
        
        最后，如果同学们对量子力学有所涉猎，同样可以从量子力学角度出发考虑这个对偶关系。同学们可以参考网站[7]、网站[8]、参考文献[9]和参考书籍[10]。这些仅供有兴趣的同学参考，对备考的帮助并不大，如果没有学过或不感兴趣也完全无需焦虑。
        

[5] 初版试卷里边不小心把受力写成了f(r)=-\frac{k}{r}！如果正式考试中因审卷不严出现这样的问题，一定要注意根据其余的信息判断这里是否出现失误——倘若真的是f(r)=-\frac{k}{r}形式的力，就不可能出现z(\theta)这种形式的椭圆轨道。虽然这次是我们的笔误，但考生也可以借机学习突发情况的处置方式。

[6] 当然，笔者个人认为正式考试中不会大面积出现这种分析味太重的符号运算。

[7] https://zhuanlan.zhihu.com/p/563486088

[8] https://zhuanlan.zhihu.com/p/342397329

[9] https://arxiv.org/pdf/1909.11659.pdf

[10] V. Arnold, K. Vogtmann, and A. Weinstein, Mathematical Methods of Classical Mechanics. Graduate Texts in Mathematics. Springer New York, 2013.

实验第一题

试题起源

        本题基于 “用示波器观测动态磁滞回线”实验，结合交流电路相关基础知识命制。考虑到目前离正式考试尚有数月，本题希望偏重考察考生的基础知识掌握而非实验设计能力与大量数据的处理能力。

命题思路

        “用示波器观测动态磁滞回线”不属于《指导书》上的标准实验，实际作答情况也表明本实验对较多考生略显超纲。但笔者认为，无论在理论储备还是实验技术上，考生都应该掌握相关的知识，这一点会结合题目具体分析进行解释。

        A1部分提供了较短的一则阅读材料介绍磁滞回线，之后考察了关于磁性材料的基础知识，以及涡流损耗的简化模型。1.1问考察了对物理学常识的基本了解，大部分考生都完成得不太理想。类似的知识还有常见材料的电阻率区间、常见二极管的大致伏安性质等，建议同学们稍加总结、归纳、记忆。

        A2部分主要考察考生对交流电相关的实验技术的掌握。本实验看似所用元件较多，但其实回路并不复杂，只是考纲内的简单电路结构的叠加。所涉及到的知识如下：

        a.RC积分电路。其实该部分只是RC简单串联，考生需要关注其理论原理，以及实现积分功能所需的近似条件。

        b.双踪示波器的测量与接地。有部分考生将“CH1”像电流表一样串联在电路中，暴露出对基础仪器的极不熟练。“示波器信号源需要共地”应该已经是大家的肌肉记忆，但本题的作答情况反映出很多考生并不清楚其根本原因。

        c.容/感抗的隔直通交/隔交通直功能。很多考生对交流电路的理解都基于定量的微分方程，但在实验中，对元件的“定性认知”也十分重要：A2.2并不需要大家列出微分方程去逐项分析，应该凭借基础直觉判断出电感的作用。

        A3部分是数据处理与误差分析的练习。A3.1需要考生熟悉电磁感应的相关模型，并在紧张状态下正确处理物理量的乘除关系以及公式系数。A3.2要求考生计算一种陌生测量工具的不确定度，但抛去“线宽”“示波器量程=屏幕宽度*分度”的表面，其内核与一般的数字电压表误差公式是完全相同的。

实验第二题

试题评析

        本题起源于命题人曾经做到的机构题以及超声光栅的有关实验，数据改编自国际赛题。

作答情况点评

        B.1和B.2是传统的超声光栅测声速实验，数据是命题人自己测的，主要考察分光计的基础知识，实验的基本原理，并简要改编了几个大学实验教材中出现的思考题，由于笔试实验考试形式下，许多考生可能没有经历过实验操作，因此需要通过这些思考题训练对实验现象（包括一些“疑难杂症”，即某些情况下仪器状态没有达到测量要求时，表现出的特殊现象以及处理方法）的分析能力，当然命题人还是建议考生进行一些实操训练。

        B.3到B.5是比较新的实验形式（但是现在似乎也不新了，机构卷中出现这类实验变多了），需要考生在考场上理解原理，数据来自国际赛题。这部分着重考察了考生的数据处理能力和实验直觉以及估算能力。不少题目要求估算实验参数的量级以及量级不合适的影响，这类题目需要考生具备一定的实验经验，有较好的实验直觉以及估算能力。

作答情况

        本题整体得分偏低，理解本题的考生有的接近满分（虽然命题人感觉考场上理解很困难，多半是考生以前接触过类似的题目），未能理解的在10分以下。本题难度其实并不大，细心计算可以获得可观的分数，但不得不承认量太大，需要考生作出合理的时间分配。对于本题实验感到陌生的同学可以去看看国际赛题拓展视野，也可以刷刷机构的实验试卷，以及多看看大学实验教材，在笔试实验的形式下，试题量大，阅读量多的情况已不可避免，赛场上的实验比试更多地依赖于考生的策略和时间分配，建议考生在平时训练自己对试题难度的判断能力和对时间的分配能力。

完整试题及答案下载请访问：第19届CPHOS物理竞赛联考 – CPHOS

文案 | CPHO-S 理论研讨组    

CPHO-S 实验研讨组    

排版 | CPHO-S 宣传联络组    

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